合同式の意味くらいは分かっているという方向けに具体的な数字を用いて

整数問題の面白さを知ってもらうことが目的です。

今回は有名なフェルマーの小定理を簡単に証明します。

 

問題、5^6 ≡ 1 (mod 7) を示しましょう。

 

mod 7 で、

 

5×1 ≡ 5

5×2 ≡ 3

5×3 ≡ 1

5×4 ≡ 6

5×5 ≡ 4

5×6 ≡ 2

 

さて、「整数は面白い①」で紹介した通り、この 6 つの式の右辺の値は全て異なります。

http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n327420

 

6 つの式の辺々を全て掛けてみましょう。

 

5^6・6 ! ≡ 6 ! (mod 7)

両辺を 6 ! で割って、5^6 ≡ 1 (mod 7)

 

これで証明できました。

簡単で美しいと思いませんか ?

 

フェルマーの小定理とは・・

 

a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

(p は素数、a は p の倍数ではない)

 

というものです。

 

数字を文字に置き換えれば証明できます。

もう少し一般化したのがオイラーの定理ですが、こちらも証明は同じです。

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